MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

 

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

  

$$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ a_{21}& a_{22} & ... &a_{2n} \\ ...& ...& \ddots &... \\ a_{m1}& a_{m2} & ... &a_{mn} \end{bmatrix} ; \ \ \ kA=\begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & ... &ka_{1n} \\ ka_{21}& ka_{22} & ... &ka_{2n} \\ ...& ...& \ddots &... \\ ka_{m1}& ka_{m2} & ... &ka_{mn} \end{bmatrix}$$

Esta expresión nos indica que, para multiplicar un escalar por una matriz cualesquiera, lo que se debe  hacer es multiplicar dicho escalar (k), por cada elemento de la matriz A y representarlo en dicha posición.

Ejemplo: Dada la matriz A, hallar 2A.

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 &-1 \\ 6 & 4 &-2 \end{bmatrix}$$ $$kA=\begin{bmatrix} 2(2) & 3(2) &-1(2) \\ 6(2) & 4(2) &-2(2) \end{bmatrix} \Rightarrow \ \ 2A=\begin{bmatrix} 4 & 6 &-2 \\ 12 & 8 &-4 \end{bmatrix}$$

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Para multiplicar dos matrices, la primera consideración que se debe tener es: El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.

Si son iguales, entonces procedemos a operar las matrices, sino simplemente no se puede hacer dicha multiplicación.  Además  con esta verificación, se obtiene el orden de la matriz resultante (producto).  Esto lo puedes entender en la siguiente imagen:

Al observar las imágenes, se puede comprobar que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad conmutativa.

La multiplicación de matrices es una operación complicada de entender con conceptos generales, por ello se la explicará con el siguiente ejemplo.

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 &-1 \\ 6 & 4 &-2 \end{bmatrix} ; \ \ B=\begin{bmatrix} -5 & 1 & \ 0 \\ \ 6 & 5 &-2 \\ \ 7 & 1 &-1 \end{bmatrix}$$

Primero nos fijamos en la condición necesaria para operar, “el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz”, entonces sí se puede multiplicar.

Segundo es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz A con los elementos de la primera columna de la matriz B.

Tercero es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz A con los elementos de la segunda columna de la matriz B.

Cuarto es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz A con los elementos de la tercera columna de la matriz B.

Quinto es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la segunda fila de la matriz A con los elementos de la primera columna de la matriz B.

Sexto es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la segunda fila de la matriz A con los elementos de la segunda columna de la matriz B.

Séptimo es encontrar el elemento , el cual será encontrado mediante la suma de los productos de los elementos de la segunda fila de la matriz A con los elementos de la tercera columna de la matriz B.

Este es el proceso que se debe seguir para realizar la multiplicación de matrices, vale recalcar que todo dependerá del orden de las matrices dadas, para encontrar cada uno de sus elementos de la matriz producto o resultado.

 

Ponce N.