MATRIZ ESCALONADA EN FORMA REDUCIDA O CANÓNICA

Para realizar el proceso de escalonar una matriz en su forma canónica, es esencial conocer las operaciones que se puede realizar entre filas o columnas, y son las únicas operaciones que se puede utilizar en el proceso de escalonamiento.

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE FILAS O COLUMNAS DE UNA MATRIZ

. Se llama operaciones elementales sobre filas o columnas a:

1)      Intercambio de dos (2) filas o columnas de A (matriz).

2)      Multiplicación de una fila o columna de A (matriz) por un escalar tal que .

3)      Adición a una fila o columna de A (matriz) otra fila o columna de A (matriz) multiplicada por un .

Una operación elemental sobre filas o columnas se dice del tipo 1, 2, 3 de acuerdo a la operación utilizada de las expuestas.

MATRIZ ESCALONADA EN FORMA REDUCIDA O CANÓNICA

Se dice que una matriz está escalonada en forma reducida o canónica por filas, solo si cumple las siguientes tres reglas básicas, si no cumple una, entonces la matriz no está escalonada:

1)      Todas las filas con elementos no nulos preceden a las filas que tienen todos los elementos nulos, es decir las filas que no tienen elementos completo de ceros “0” van primero.

2)      En cada fila el primer elemento no nulo es el 1, y es el único elemento no nulo de su respectiva columna.

3)      El primer elemento no nulo, 1 de cada fila pertenece a una columna que sigue a las columnas que tienen 1 como primer elemento de las filas anteriores; esto se lo puede ver gráficamente en las matrices escalonadas, y es la forma de escalera que le da a dichas matrices.

Toda matriz se puede escalonar de una y sola una manera, mediante un número finito de operaciones elementales por filas. También las operaciones elementales de una matriz conservan el rango de una matriz, siendo rango de A= Rng(A) el número de filas no nulas de la matriz escalonada de A.

Ejemplo. Escalonar la siguiente matriz:

$$A=\begin{bmatrix} 2 & \ 1 & -1 &7 \\ 1& -2 & \ 2 &1\\ 3& \ 1 & \ 1 &12 \end{bmatrix}$$

Para escalonar una matriz, el proceso es mediante las operaciones elementales para hacer cumplir las tres reglas de una  matriz escalonada. Además para facilitar las operaciones a la fila uno se le denomina F1, a la fila dos F2 y a la fila tres F3, con el operador como se indica en el proceso del ejemplo.

En el ejemplo presentado en la imagen anterior, la matriz final está escalonada ya que cumple las tres reglas, es decir las filas que tienen elementos no nulos van primero (en este caso no hay ninguna fila nula), también cada fila el primer no nulo es el 1 y es el único de su columna, además cumple con la forma de escalera como se conoce la regla tres coloquialmente.

Ponce N.